Hoje eu tô aqui porque quero falar do 8º episódio da 4ª temporada de B99. Neste episódio o Capitão Holt e seu marido Kevin estão com problemas particulares, por assim dizer, como todo bom casal é claro que eles iriam reverter isso em uma briga sem sentido. Como bons intelectuais que são, a discussão partiu de um problema de lógica matemática sobre a probabilidade de escolher a porta certa que contém um prêmio. O Capitão Holt inclusive conta o nome do problema “É o problema de Monty Hall”, Kevin explica ”Imagina que você está em um programa de TV com 3 portas, atrás de uma delas tem um carro. Você escolhe uma porta. O apresentador, que sabe onde está o carro, abre uma porta diferente da escolhida, mostrando que não existe nada atrás dela. Agora o apresentador te pergunta se você quer mudar de porta” e aqui começa o problema. Kevin acredita que se mudar de porta a chance de vencer aumentará e o Holt acredita que isso não faz sentido, já que tanto faz, mudando ou não mudando você terá 50% de chance de acertar. E agora? quem você acha que está certo? Acredito que a maioria concorde com o Holt, mas vou te contar um segredo, o Capitão Holt está errado!
O problema de Monty Hall
Este problema surgiu em um programa televisivo dos Estados Unidos, onde o apresentador Monty Hall tinha um quadro como descrito acima. No Brasil tivemos a "Porta dos Desesperados” com o Serginho Mallandro. O quadro era esse: atrás de uma porta tinha prêmio e atrás das outras duas existiam bodes (no caso do Serginho Mallandro, existiam pessoas fantasiadas de Gorila que corriam atrás das crianças. Divertido, procurem aí!). Na primeira etapa o participante escolhia uma porta, na segunda etapa, o apresentador abria outra porta mostrando que não havia o prêmio e na última etapa o participante podia trocar de porta ou não. Eu já te dei o spoiler que faz sentido ele trocar de porta, isto é, se ele trocar suas chances aumentarão. Mas vamos primeiro refletir sobre a resposta mais intuitiva e errada.
Tanto faz a mudança
Parece intuitivo: são duas portas, uma delas tem o prêmio, então são 50% de chance de ganhar, certo? Inclusive é isso que tá acontecendo, na primeira parte você tinha ⅓ de chance e agora o apresentador te ajudou, te dando ½ de chance de você acertar, não? Não. Sabe porque? Quando vamos analisar uma probabilidade é muito importante que lidemos com eventos aleatórios, por exemplo: sair o 3 no dado, dar cara na moeda, etc. Tem uma parte da fala do Kevin que é muito importante “ O apresentador, que sabe onde está o carro, abre uma porta diferente da escolhida, mostrando que não existe nada atrás dela.” o apresentador sabe onde está o prêmio, isso faz com que a escolha não seja definida aleatoriamente e sim de forma dependente da escolha do participante. Exemplificando fica mais fácil: Se o participante escolher a porta 1 (sem prêmio), mesmo que em uma das outras duas exista o prêmio, o apresentador com certeza irá abrir a que não tem, ou seja, não foi um movimento aleatório. E aqui está o problema, se o movimento não foi aleatório precisamos estudar caso a caso. Então vamos dar uma de Amy e vamos à explicação.
Eu devo mudar de porta
Para vocês finalmente entenderem o porque de valer a pena essa mudança precisamos estudar os casos, então vamos olhar para o caso que o participante vai mudar de porta (também vamos colocar o prêmio na porta 1 para ficar mais fácil), perceba que algumas coisas podem acontecer:
1 - O participante escolhe a porta 1. O apresentador abre a 2 ou 3 revelando que não tem prêmio lá atrás e pergunta se quer mudar ou não. Como assumimos o caso de mudança, o participante irá mudar para a 3 e pronto. Neste caso ele perdeu.
2 - O participante escolhe a porta 2. O apresentador é obrigado a abrir a 3 (já que na 1 tem o prêmio e se fosse revelado acabaria o programa) revelando que não tem prêmio lá atrás e pergunta se quer mudar ou não. Como assumimos o caso de mudança, o participante irá mudar para a 1 e pronto. Neste caso ele venceu.
3 - O participante escolhe a porta 3. O apresentador é obrigado a abrir a 2 (já que na 1 tem o prêmio e se fosse revelado acabaria o programa) revelando que não tem prêmio lá atrás e pergunta se quer mudar ou não. Como assumimos o caso de mudança, o participante irá mudar para a 1 e pronto. Neste caso ele venceu.
Percebeu? Das três possibilidades ele venceria em duas delas se mudasse de porta. Se estudarmos o caso de não mudar vai dar na mesma:
1 - O participante escolhe a porta 1. O apresentador abre a 2 ou 3 revelando que não tem prêmio lá atrás e pergunta se quer mudar ou não. Como assumimos o caso de não mudança, o participante irá ficar com a 1 e pronto. Neste caso ele venceu.
2 - O participante escolhe a porta 2. O apresentador é obrigado a abrir a 3 (já que na 1 tem o prêmio e se fosse revelado acabaria o programa) revelando que não tem prêmio lá atrás e pergunta se quer mudar ou não. Como assumimos o caso de não mudança, o participante irá ficar com a 2 e pronto. Neste caso ele perdeu.
3 - O participante escolhe a porta 3. O apresentador é obrigado a abrir a 2 (já que na 1 tem o prêmio e se fosse revelado acabaria o programa) revelando que não tem prêmio lá atrás e pergunta se quer mudar ou não. Como assumimos o caso de não mudança, o participante irá ficar com a 3 e pronto. Neste caso ele perdeu.
No caso de não mudança ele perde em dois cenários e vence em apenas um. Assim fica claro, que para aumentar as chances de vencer o participante deve trocar de porta.
Mas e se...
Perceba que, caso o apresentador não soubesse onde estava o prêmio, aí sim as chances seriam as mesmas, já que o evento seria aleatório, olha o estudo de caso de mudança:
1 - O participante escolhe a porta 1. O apresentador abre a 2 ou 3 revelando que não tem prêmio lá atrás e pergunta se quer mudar ou não. Como assumimos o caso de mudança, o participante irá mudar para a 2 ou 3 e pronto. Nestes dois casos ele perdeu.
2 - O participante escolhe a porta 2. O apresentador abre a 1 ou 3, se abrir a 1 o jogo acaba. Se abrir a 3, ele pergunta se quer mudar ou não. Como assumimos o caso de mudança, o participante irá mudar para a 1 e pronto. Então se o apresentador abre a 1 o jogo acaba antes, se abre a 3, o participante ganha.
3 - O participante escolhe a porta 3. O apresentador abre a 1 ou 2, se abrir a 1 o jogo acaba, se abrir a 2, ele pergunta se quer mudar ou não. Como assumimos o caso de mudança, o participante irá mudar para a 1 e pronto. Então se o apresentador abre a 1 o jogo acaba antes, se abre a 2, o participante ganha.
Agora temos 3 casos e cada um deles se divide em 2, então das 6 possibilidades, o jogo acaba prematuramente em duas delas, o participante vence em duas delas e perde em duas delas. Agora sim, neste caso, tanto faz se ele mudar ou não a porta. É Holt, dessa vez não deu pra você...
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